উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – সীমা

Posted by: | Published: Monday, July 11, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ক্যালকুলাস থেকে – সীমা ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – সীমা


http://www.webschoolbd.com/
   প্রয়োজনীয় তথ্যাদি :

1.      lim (sinθ/θ) = lim (θ/sinθ) = 1
θ→0                θ→0
2.      lim (tanθ/θ) = lim (θ/tanθ) = 1
θ→0                θ→0
3.      lim  ( xn-an / x-a ) = nan-1
x→a
4.      lim  ( ex-1 / x ) = 1
x→0
5.      lim (1+x)1/x = lim ( 1 + 1/x )x = e
x→0              x→α
*      Short-cuts :
1.      lim (tan-1x/x) = lim (x/tan-1x) = 1
x→0                x→0
2.      lim (sin-1x/x) = lim (x/sin-1x) = 1
x→0                x→0

*      L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি lim (x→a)  আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি  এর মান 0/0 আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার 0/0 আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

#    Type- 1 :
lim (x→2)
= lim (x→2)
= lim (x→2) (x2+2x+4) = 4+4+4 = 12              [ans.]
এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে u = 2 বসালে 0/0 আকারে আসে ।
lim (x→2)
= lim (x→2)
= 3.22
= 12                 [ans.]

*   #   Type- 2 :
lim (x→α)  আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।
example :
lim (x→α)
= lim (x→α)
= lim (x→α)
= (1+0)/(3+0+0)
= 1/3                [ans.]

Note : something/α = 0

*      Type- 3 :
lim (1+ax)1/ax = lim (1+1/bx)bx = e
x→0                x→α
সূত্রটির ব্যবহার :
i.                    lim (1+5x)1/x
x→0
= lim (1+5x)1/5x.5
x→0
= e5                        [ans.]
ii.                  lim,(1+1/3x)9x
x→α
= lim (1+1/3x)3x.3
x→α
e3                           [ans.]

*      Type- 4 :

example- 1 :
lim (x→0)
অংকটিতে, x = 0 বসালে 0/0 আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।
lim (x→0)
lim (x→0)                      [differentiate করে]
এখনও এটি 0/0 আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,
lim (x→0)
এখন,x=0 বসালে আমরা পাই 9/6 = 3/2 । এটিই উত্তর ।

example- 2 :
lim (x→π/2)                   [0/0 form]
= lim (x→π/2)                  [not o/o form]
=
= 0/1  = 0                     [ans.]

example- 3 :
lim (x→0)                      [o/o form]
= lim (x→0)                       [o/o form]
= lim (x→0)                      [not o/o form]
= 1/3                            [ans.]

*      Type- 5 :
lim (x→0)  আকারে থাকলে, লবে ± এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।
example- :
lim (x→0)
= lim (x→0)
= lim (x→0)
= lim (x→0)
= 6/4  = 3/2                  [ans.]

*      Type- 6 :
lim (x→a)  সূত্রের ব্যবহার :
        i.            lim (x→a)
= lim (x→a)
= 3(√a)3-1
= 3a                 [ans.]

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর :
1.      lim (x→0)
= lim (x→0)
= 0                               [ans.]
2.      lim (x→0)
= lim (x→0)  . 2
= 1.2
= 2                               [ans.]
3.      lim (x→0)                       [0/0 form]
= lim (x→0)
= 2/2
= 1                               [ans.]
4.      tan-1x/x = 1      [ans.]
5.      lim (x→0)
= lim (x→0)
= lim (x→0)
= lim (x→0)
= 2/2√3
= 1/√3              [ans.]
6.      lim (x→0)
এখানে যেহেতু 0/0 form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2.
7.      lim (x→ π/2)      [0/0 form]
= lim (x→ π/2)
= lim (x→ π/2)
= cot π/2
= 0                               [ans.]
8.      lim (x→0)
= lim (x→0)  . 3
= 1.3
= 3                               [ans.]


অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত
Skype id - wschoolbd



Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon