উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – অন্তরীকরণ

Posted by: | Published: Monday, July 11, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ক্যালকুলাস থেকে – অন্তরীকরণ ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ক্যালকুলাস) – অন্তরীকরণ



গানিতিক সমস্যা ও সমাধান :

http://www.webschoolbd.com/
Type – 1 : Simple অন্তরীকরণ :
উদাহরণ- ১ :
d/dx (sink) = ?
= 2sink cosk
বি:দ্র: dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে ।

উদাহরণ- ২ :
d/dx (log5x) = 1/k log­5c            [সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে]

উদাহরণ- ৩ :
y = tan-1 {tan(2x2+3)} হলে, dy/dx = ?
আমরা জানি, tan-1 = θ; tan-1 ও tan কাটাকাটি হয় ।
একইভাবে, sinθ, cosθ, secθ, cosecθ, catθ এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ।
সুতরাং বাকি থাকছে, 2x2+3
∴ d/dx(2x2+3) = 4x                  [ans.]

উদাহরণ- ৪ :
y = √sin2k হলে, dy/dx = ?
dy/dx = (d/dx) (sin2x)
         =  . cos2k . 2
            =
এক্ষেত্রেও dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে ।

  • Type – 2 : সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ :
উদাহরণ- ১ :
y = ln(cosx) হলে, dy/dx = ?
∴ dy/dx = d/dx (In(cosx)) = (1/cosx).-sinx.1 = -(sinx/cosx) = -tanx

উদাহরণ- ২ :
y = sinex হলে, dy/dx = ?
dy/dx = d/dx(sinex) = cosex . (d/dx) ex
                                       = ex . cosecx              [ans.]

উদাহরণ- ৩ :
(2-3x)1/3 হলে, dy/dx = ?
dy/dx = d/dx (2-3x)1/3
            = 2/3 . (2-3xx)2/3-1 . 3
            = 2(2-3x)-1/3                                         [ans.]

  • Type – 3 : দুটি ফাংশনের গুণফল থাকলে :
এক্ষেত্রে (d/dx)(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx) এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় ।
উদহারণ- ১ :
d/dx (exnm) = ex(d/dx) sinx + sinx(d/dx) ex
                        = excosx + ex sinx

উদাহরণ- ২ :
d/dx (sinx cosx) = sinx(d/dx) cosx + cosx (d/du) sinx
                                    = sinx.–sinx + cosx.cosx
                                    = -sin2x + cos2x
                                    = cos2x-sin2x
                                    = cos2x                         [ans.]

উদাহরণ- ৩ :
(d/du){e-x(5x2+7)}
= e-x (d/dx)(5x2+7) + (5x2+7)(d/dx) e-x
= e-x . 0
= 0                               [ans.]

উদাহরণ- ৪ :
(d/dx)(2x2+9x)(3x3-4x2)
⇒ (2x2+9x)(d/dx)(3x3-4x2)+ (3x3-4x2)(d/dx)(2x2+9x)
⇒ (2x2+9x)(9x2-8x) + (3x3-4x2)(4x+9)                        [ans.]

  • Type – 4 : ফাংশনের Power ফাংশন থাকলে :
এক্ষেত্রে প্রদত্ত ফাংশনটিকে ৬ ধরে নিয়ে পরবর্তীতে লগারিদম নিতে হয় । তারপর স্বাভাবিক অন্তরীকরণ করলেই চলবে ।
উদারহণ- ১ : xx এর অন্তরীকরণ কর ।
ধরি, y = xx
            ⇒ Iny = Inxx = xInx
            ⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx)(xInx )
            ⇒ (1/y)(dy/dx) = x. (1/x) + Inx.1         [(d/du)(uv) এই সূত্র প্রয়োগ করে]
            ⇒ (1/y)(dy/dx) = 1 + Inx
            ⇒ dy/dx = y (1+ Inx) = xx (1+Inx)                   [ans.]

উদাহরণ- ২ : xxInx এর অন্তরক সহগ :
ধরি, y = xxInx
⇒ Iny = In (xx.Inx) = Inxx + In(Inx)
⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx){Inxx+In(Inx)}
⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/du) xInx + (d/du){In(Inx)}
                         = x.(1/x) + Inx.1 + (1/Inx).(1/x)
                         = 1 + Inx + (1/xInx)
⇒ (dy/dx) = y{1+Inx+(1/xInx)}
                   = xxInx{1+Inx+(1/xInx)}                          [ans.]

উদাহরণ- ৩ :  এর অন্তরক সহগ : ধরি, y =
⇒ Iny = In
⇒ (d/du) Iny = (d/dx){In}
⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/dx){(x3+x)In3}
⇒ (1/y)(dy/dx) = (x3+3) (d/dx) In3 + In3. (d/dx) (x3+3)
⇒ (1/y)(dy/dx) = (x3+3).0 + In3.3x2
⇒ (1/y)(dy/dx) = 3x2 In3
⇒ dy/dx = y.3x2In3
⇒ dy/dx =  . 3x2In3                     [ans.]

  • Type – 5 : implicit ফাংশনের অন্তরীকরণ :
উদাহরণ- ১ :
x2+y2 = 1
⇒ (d/dx) x2 + (d/dx) y2 = (d/dx) . 1
⇒ 2x + (d/dy) y2 (dy/dx) = 0
⇒ 2x + 2y. (dy/dx) = 0
∴dy/dx = - x/y                          [ans.]

উদাহরণ- ২ :
x3+y3 = 3xy হলে, dy/dx = ?
(d/dx)(x3+y3) = 3xy
⇒ 3x2 + (d/dx)y3 = 3                            [x.(dy/dx) + y.1]
⇒ 3x2+3y2(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y
⇒ (3y2-3x)(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y
⇒ (3y2-3x)(dy/dx) = y-3x2
⇒ (dy/dx) = (y-3x2)(3y2-3x)                [ans.]

উদাহরণ- ৩ :
x+xy+y2 = 1 হলে, dy/dx = ?
⇒ (d/du)(x+xy+y2) = (d/du).1
⇒ x + x.(dy/dx)+y.1+2y(dy/dx) = 0
⇒ x+x(dy/dx)+y+2y(dy/dx) = 0
⇒ (x+2y)(dy/dx) = -(x+y)
⇒ (dy/dx) = - (x+y)/(x+2y)                              [ans.]

উদাহরণ- ৪ :
y = cos(2k+x) হলে, dy/dx = ?
⇒ dy/dx = (d/dx){cos(2x-2y)}
             = -sin(2x+2y).(d/dx)(2x+2y)
             = -sin(2x+3).2+2(dy/dx)
∴ (dy/dx) = 2sin(2x+3)                                    [ans.]

  • Type – 6 : পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ :
যদি x এবং y এর মধ্যবর্তী সম্পর্ককে সোজাসুজি কোন সমীকরণের আকারে ব্যক্ত না করে তৃতীয় কোন চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তাহলে x ও y এর সমীকরণ দুটিকে একত্রে পরামিতিক সমীকরণ বলে এবং তৃতীয় চলককে parameter বা পরামিতি বলে ।
এক্ষেত্রে প্রথমে x ও y ফাংশনকে parameter এর সাহায্যে অন্তরীকরণ করতে হয় এবং পরে dy/dx বের করতে হয় ।
উদাহরণ- ১ :
x = cosθ এবং y = sinθ হলে, dy/dx = ?
dx/dθ = -sinθ এবং dy/dθ = cosθ
∴ dy/dx = -sinθ/cosθ = -tanθ                            [ans.]

উদাহরণ- ২ :
x = 1+t2
y = 1-t3
dx/dt = 1`+2t
dy/dt = 1-2t2
dy/dx = (dx/dt)/(dy/dt)
            = (1+2t)/(1-2t2)                         [ans.]

উদাহরণ- ৩ :
y = a sinθ
x = acosθ হলে, (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = ?
dy/dθ = a cosθ
dx/dθ = -asinθ
∴ dy/dx = (a cosθ)/(-asinθ)
            = -y/x
∴ (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = - (-1/1) = 1       [ans.]

  • Type – 7 : ফাংশনের সাপেক্ষে ফাংশনের অন্তরক :
উদাহরণ- ১ :
Inx এর সাপেক্ষে sinx এর অন্তরক নির্ণয় কর ।
ধরি, u = Inx
    V = θ sinx
dv/du = (dv/du)/(du/dx)
            = cosx/(1/x)
            = x cosx                       [ans.]

উদাহরণ- ২ :
sinx এর সাপেক্ষে cos2x এর অন্তরীকরণ :
ধরি, u = sinx
    v = cos2x
dv/du = (dv/du)/(du/dx)
            = (d/dx) cos2x / (d/dx) sinx
            = (-sinx2,2x)/(cosx)
            = (-2x sinx2)/cosx                    [ans.]


অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত
Skype id - wschoolbd



Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon