ত্রিকোণমিতি – ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ত্রিকোণমিতি থেকে – ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ত্রিকোণমিতি) – ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

সাধারণ সমাধান: θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = α কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

sin θ = sin α ⇒ θ = nπ +  α

cos θ = cos α ⇒ θ = 2nπ ± α

tan θ = tan α ⇒ θ = nπ + α

সাধারণ সমাধান: θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = 0

sin θ = 0 ⇒ θ = nπ

cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1)

tan θ = 0 ⇒ θ = nπ

সাধারণ সমাধান: θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = ± 1

sin θ = 1 ⇒ θ = (4n + 1)   ;  sin θ = ‒ 1 ⇒ θ = (4n ‒ 1)

cos θ = 1 ⇒ θ = 2nπ  ;  cos θ = ‒ 1 ⇒ θ = (2n + 1)π

tan θ = 1 ⇒ θ = nπ +   ;  tan θ = ‒ 1 ⇒ θ = nπ  ‒

উদাহরণ 1. সমাধান কর: cos θ +  sin θ =

সমাধান:

পদ্ধতি 1:

প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণের অনুপাতগুলোকে এক জাতীয় অনুপাতে রূপান্তরিত করতে হবে। এরপর সবগুলো রাশি বামপক্ষে এনে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে কিংবা দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হবে। এক্ষেত্রে,

cos θ +  sin θ =

⇒ cos θ ‒  = ‒  sin θ

⇒                    [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

⇒ cos² θ ‒ 2 cos θ + 2 = 3 sin² θ

⇒ cos² θ ‒ 2 cos θ + 2 = 3 (1 ‒ cos² θ)                                           [sin² θ + cos² θ = 1]

⇒ cos² θ + 3 cos² θ ‒ 2 cos θ + 2 ‒ 3 = 0

⇒ 4 cos² θ ‒ 2 cos θ ‒ 1 = 0

∴ cos θ

=

=

=

=

=

=

=

হয়,

cos θ =

⇒ cos θ = cos

⇒ θ = 2nπ ±

অথবা,

cos θ =

⇒ cos θ = cos

⇒ θ = 2nπ ±

কত ডিগ্রী কোণের cos অনুপাতের মান  বা  তা Calculator এর ত্রিকোণমিতিক inverse ফাংশন ব্যবহার করে বের করা যায়।

∴ θ = 2nπ ±  এবং 2nπ ±

কিন্তু, 2nπ ‒  এবং 2nπ ‒  এর জন্য θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে sin অনুপাত ঋণাত্মক। 2nπ ‒  এবং 2nπ ‒  মূল দুইটি মূলত cos θ ‒  sin θ = সমীকরণের সমাধান যা প্রদত্ত সমীকরণকে বর্গ করার ফলে সমাধানের অন্তর্ভুক্ত হয়েছে।

∴ নির্ণেয় সমাধান: θ = 2nπ +  , 2nπ +

পদ্ধতি 2:

সমীকরণের উভয়পক্ষকে cos θ ও sin θ এর সহগের বর্গমূল দ্বারা ভাগ করলে নতুন সহগ বিশিষ্ট সমীকরণ পাওয়া যায়। cos θ এর সহগকে আনুষঙ্গিক cos অনুপাতের এবং sin θ এর সহগকে আনুষঙ্গিক sin অনুপাত দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র প্রয়োগ করলে বামপক্ষে শুধুমাত্র cos অনুপাত অবশিষ্ট থাকে। ডানপক্ষে আনুষঙ্গিক cos অনুপাত বসিয়ে cos এর সাধারণ সমাধানের সূত্র প্রয়োগ করলে প্রদত্ত সমীকরণের সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়। এক্ষেত্রে,

cos θ এর সহগ = 1

sin θ এর সহগ =

∴ সহগদ্বয়ের বর্গের যোগফলের বর্গমূল =  =  =  = 2

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ:

cos θ +  sin θ =

⇒  cos θ +  sin θ =                               [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

⇒ cos θ cos  + sin θ sin  =   [0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]

⇒ cos  =                                          [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]

⇒ cos  = cos

⇒ θ ‒  = 2nπ ±                                            [cos θ = cos α হলে θ = 2nπ ± α]

হয়,

θ ‒  = 2nπ +  ⇒ θ = 2nπ +  +  = 2nπ +

অথবা,

θ ‒  = 2nπ ‒  ⇒ θ = 2nπ ‒  +  = 2nπ +

উদাহরণ 2. সমাধান কর: cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

সমাধান:

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগফলরূপে কোণের গুণিতক থাকলে সূত্র প্রয়োগ করে তাদের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফলরূপে প্রকাশ করে অধিকাংশ সময় সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে,

cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

⇒ cos x ‒ cos 2x = sin 2x ‒ sin x

⇒ 2 sin  sin  = 2 cos  sin   [ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর]

⇒ sin  sin  = cos  sin

⇒ sin  sin  ‒ cos  sin  = 0

⇒ sin   = 0

হয়,

sin  = 0

⇒  = nπ             [sin θ = 0 হলে θ = nπ]

∴ x = 2nπ

অথবা,

sin  ‒ cos  = 0

⇒ sin  = cos

⇒  = 1

⇒ tan  = 1

⇒  = nπ +                    [tan θ = 1 হলে θ = nπ + ]

∴ x =

উদাহরণ 3. সমাধান কর: cot θ + tan θ = 2 sec θ

সমাধান:

সমীকরণে tan, cot, sec, cosec একসাথে থাকলে তাদের যথাক্রমে , , ,  এ রূপান্তরিত করলে অনেক ক্ষেত্রেই সমাধান সহজতর হয়। এক্ষেত্রে,

cot θ + tan θ = 2 sec θ

⇒

⇒

⇒  = 2

⇒ sin θ =

⇒ sin θ = sin

∴ θ = nπ +                        [sin θ = sin α হলে θ = nπ +  α]

অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. ….। (প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা প্রযন্ত)
Skype id – wschoolbd.