উচ্চতর গণিত বীজগণিত - বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ

Posted by: | Published: Monday, June 13, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বীজগণিত - বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations) নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট


বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations) : 

বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।

এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+anএকটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । a0, a1, a2, ...... an ∈ R হল ধ্রুবক যেখানে a0 ≠ 0 । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । a0কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+an = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে । x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় । n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।

বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) : 
 i. বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।
 ii. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।
iii. ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।
iv. উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
v. অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।

 বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p0xn+p1xn-1+p2xn-2+ ...... +pnএর মূল হয় তবে,
 i. = a+b+c+ ...... + k = - p1/p0
ii. = ab+bc+cd+ ...... = P2/P0
iii. a×b×c×d×......×k = (-1)n (pn/p0)

 দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ- ax2+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে- এবং

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে, i. = α+β = -b/a = -
ii. αβ = c/a =

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax2+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, x = । এখানে, (b2-4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য (b2-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় । i. যদি b2-4ac=0 ⇒ b2=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।
ii. b2-4acলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।
iii. b2-4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।
iv. (b2-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।
v. c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।
vi. b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে ।
লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a1x2+b1x+c1=0 ও a2x2+b2x+c2=0 সমীকরণদ্বয়ের- i. একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a1b2-a2b1)(b1c2-b2c1) = (c1a2-c2a1)2হয় ।
ii. উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a1/a2 = b1/b2 = c1/c2হয় ।

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে- x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0 অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α ও β হলে সমীকরণটি হবে- x2 - (α+β)x + αβ = 0

ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ- ax3+bx2+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax3+bx2+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-
 i. = α+β+γ = -b/a
 ii. = αβ+βγ+γα = c/a
 iii. αβγ = -d/a

 Important formulae :
i. (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (a-b)2+4ab
ii. (a-b)2= a2-2ab+b2 = (a+b)2-4ab
iii. 4ab = (a+b)2-(a-b)2
iv. a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab
v. a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) = (a+b)(a2-ab+b2)
vi. a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b) = (a-b)(a2+ab+b2)
vii. a4+b4 = [(a+b)2-2ab]2-2(ab)2
viii. a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
ix. (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 = 2(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
x. (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
xi. a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
                            = ½ (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
                            = (a+b+c){(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)}

অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
(প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত)
Skype id - wschoolbd মোবাইল নং- ০১৯১৫৪২৭০৭০ ।



Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon