এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বীজগণিত - নির্ণায়ক

Posted by: | Published: Monday, June 13, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বীজগণিত - নির্ণায়ক (Determinants) নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

নির্ণায়ক (Determinants)সাধারণ ধারণা : 

নির্ণায়ক (Determinants) : নির্ণায়ক হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে । কোন n×n বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের ক্রমও n ।

নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক (Minor and cofactor of determinants) : যদি D কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে তার যেকোন উপাদান dijএর অণুরাশিকে Mijদ্বারা প্রকাশ করা হয় । Mijহল i তম সারি ও j তম কলাম বাদে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক । যেমন : D = হলে, a1এর অণুরাশি = M11 = = = b2c3 – b3c2 অনুরূপভাবে, b1এর অণুরাশি = M12 = = = a2c3 – a3c2
অর্থাৎ, যদি D এর কোন উপাদানের মধ্য দিয়ে একটি আনুভূমিক ও একটি উল্লম্ব সরলরেখা টানা যায় তাহলে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়কই হল ঐ উপাদানের অণুরাশি । আবার, D এর কোন উপাদান dijএর সহগুণকে Cijদ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে Cij = (-1)i+jMij। অর্থাৎ, অণুরাশির পূর্বে যথাযোগ্য চিহ্ন বসালে সংশ্লিষ্ট উপাদানের সহগুণক পাওয়া যায় । যেমন : b1এর সহগুণক = (-1)1+2M12 = - = -(a2c3 – a3c2)

নির্ণায়কের বিস্তৃতি (Expansions of Determinant) : কোন বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট সারি কিংবা কলাম বরাবর বিস্তৃত করে এর নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা হয় । ঐ নির্দিষ্ট কলামের/ সারির প্রতিটি উপাদানকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুণ করে গুণফলের বীজগাণিতিক সমষ্টি নিলে উক্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান পাওয়া যায় ।
অর্থাৎ, A, n মাত্রার কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,
det(A) = a11c11+a12c12+ ............ +a1nc1n
= a21c21+a22c22+ ............ +a2nc2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... = an1cn1+an2cn2+ ............ +amncnn
 অনুরূপভাবে, কলাম বরাবর বিস্তৃত করে পাই,
det(A) = a11c11+a12c12+ ............ +a1nc1n
 = a21c21+a22c22+ ............ +a2nc2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
 = an1cn1+an2cn2+ ............ +amncnn
উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,
 = a1 - b1 + c1
= a1 (b2c3 – b3c2) - b1 (a2c3 – a3c2) + c1 (a2b3 – a3b2)

নির্ণায়কের ধর্ম (Properties of Determinants) : 
১. নির্ণায়কের কোন সারি বা কোন কলামের উপাদানগুলো শূণ্য হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
২. নির্ণায়কের সারি ও কলামসমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ সারিগুলো কলামে এবং কলামগুলো সারিতে পরিণত করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।
৩. নির্ণায়কের পাশাপাশি দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কিন্তু সাংখ্যমান অপরিবর্তিত থাকে ।
৪. নির্ণায়কের দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি অভিন্ন (Identical) হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
৫. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে যথাক্রমে অপর সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের সহগুণক দ্বারা গুণ করা হলে । গুণফলগুলোর সমষ্টি শূণ্য হয় ।
৬. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রত্যেকটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নির্ণায়কের মানকেও সেই স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় ।
৭. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যদি যথাক্রমে অন্য কোন সারি বা কলাম পাওয়া যায় তবে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।
৮. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান দুইটি পদ নিয়ে গঠিত হলে নির্ণায়কটিকে অন্য দুটি নির্ণায়কের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় ।
৯. নির্ণায়কের কোন সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান যথাক্রমে অন্য একটি সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের একটি গুণিতক দ্বারা বৃদ্ধি ব হ্রাস করা হলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ জোটের সমাধান : 
 ১. সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো পাশাপাশি কলাম হিসেবে নিয়ে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে । উক্ত নির্ণায়ককে D বা Δ দ্বারা সূচিত করা হয় ।
২. এরপর উক্ত নির্ণায়কের প্রথম কলামকে সমীকরণজোটের ধ্রুব পদ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে নির্ণায়কের মান নিলে প্রথম কলামের সংশ্লিষ্ট চলকের জন্য একটি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।
৩. এভাবে প্রতি কলামের জন্য প্রক্রিয়া (ii) পুনরাবৃত্তি করে যথাক্রমে Dx/Δx, Dy/Δy, Dz/Δz ...... ইত্যাদি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।
৪. x/Δx = y/Δy = z/Δz = ...... = 1/Δ ইত্যাদির মান নির্ণয় করা যায় ।


Calculator Techniques :

2 বা 3 চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণজোটের সমাধান Calculator নির্ণয় করা যায় :
1. Equation mode যেতে চাপুন-   (EQN)                                           
2. চলক সংখ্যা Input করুন যেমন : Example 4 চলক তিনটি x,y,z চাপুন-
3. তিনটি চলকবিশিষ্ট সমীকরণ calculator নিচের আকৃতিতে Input করতে হয়-
a1x+b1y+c1z = d1
a2x+b2y+c2z = d2
a3x+b3y+c3z = d3

অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
(প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত)
Skype id - wschoolbd মোবাইল নং- ০১৯১৫৪২৭০৭০ ।

Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon