সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

Posted by: | Published: Monday, July 11, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের ত্রিকোণমিতি থেকে – সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ধারণা নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট

এইচ এস সি উচ্চতর গণিত (ত্রিকোণমিতি) – সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

 n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়:
(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:
n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।
                                                                                sin (n.90° ± θ) = sin θ
                                                                                cos (n.90° ± θ) = cos θ
                                                                                tan (n.90° ± θ) = tan θ
                                                                                cot (n.90° ± θ) = cot θ
                                                                                sec (n.90° ± θ) = sec θ
                                                                                cosec (n.90° ± θ) = cosec θ
n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,
                                                                                sin (n.90° ± θ) = cos θ
                                                                                cos (n.90° ± θ) = sin θ
                                                                                tan (n.90° ± θ) = cot θ
                                                                                cot (n.90° ± θ) = tan θ
                                                                                sec (n.90° ± θ) = cosec θ
                                                                                cosec (n.90° ± θ) = sec θ
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।
(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।


যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
                           1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
                           2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B
                           3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B
                           4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B
                           5. tan (A + B) =
                           6. tan (A ‒ B) =
                           7. cot (A + B) =
                           8. cot (A ‒ B) =
                           9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ cos2 A
                           10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ sin2 A
                          11. sin (A + B + C) = cos A cos B cos C (tan A + tan B + tan C ‒ tan A tan B tan C)
                       12. cos (A + B + C) = cos A cos B cos C (1 ‒ tan A tan B ‒ tan B tan C ‒ tan C tan A)
                           13. tan (A + B + C) =

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর:
                                                                                1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)
                                                                                2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)
                                                                                3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)
                                                                                4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর:
                                                                               1. sin C + sin D = 2 sin  cos
                                                                                2. sin C ‒ sin D = 2 cos  sin
                                                                                3. cos C + cos D = 2 cos  cos
                                                                                4. cos D ‒ cos C = 2 sin  sin
                                                                                ⇒ cos C ‒ cos D = 2 sin  sin
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
                                                                               1. sin 2A = 2 sin A cos A =
                                                                                2. cos 2A = cos2 A ‒ sin2 A = 2cos2 A ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2 A =
                                                                                3. tan 2A =
                                                                                4. sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin3 A
                                                                                5. cos 3A = 4 cos3 A ‒ 3 cos A
                                                                                6. tan 3A =

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে A =  এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে A =  বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।
                                                       1. sin θ = 2 sin  cos =
                                                       2. cos θ = cos2  ‒ sin2  = 2cos2  ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2  =
                                                        3. tan θ =
                                                        4. sin θ = 3 sin  ‒ 4 sin3
                                                        5. cos θ = 4 cos3  ‒ 3 cos
                                                        6. tan θ =
উদাহরণ 1. মান নির্ণয় কর:
(i) cos 690°
(ii) sin (‒ 1395°)
(iii) cosec

সমাধান:
(i)
cos 690° = cos (7×90° + 60°)
এক্ষেত্রে n = 7 যা বিজোড় সুতরাং cos সহ-অনুপাত sin এ পরিবর্তিত হবে।
আবার, প্রতি চতুর্ভাগ অতিক্রম করা মানে 90° করে কোণ অতিক্রম করা। এক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 7টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে আরও 45° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।  [(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়]
∴ cos 690° = sin 60° =             [0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]
অথবা,
cos 690° = cos (8×90° ‒ 30°)
এক্ষেত্রে, n = 8 যা জোড় সুতরাং অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে।
আবার, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 8টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে উল্টো দিকে অর্থাৎ ঘড়ির কাঁটার দিকে 30° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।
∴ cos 690° = cos 30° =
(ii)
sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (15×90° + 45°)} = ‒ (‒ cos 45°) =
অথবা,
sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (16×90° ‒ 45°)} = ‒ (‒ sin 45°) =
(iii)
cosec  = cosec  = cosec  = ‒ cosec  =
উদাহরণ 2. যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sin A =  হয়, তবে cot A এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
পদ্ধতি 1:
দেওয়া আছে, sin A = 
আমরা জানি,
sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos2 A = 1 ‒ sin2 A ⇒ cos A = ±  = ±  = ±
কিন্তু A সূক্ষ্মকোণ অর্থাৎ প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে। সুতরাং cos A ধনাত্মক। ∴ cos A =
∴ cot A =  =  =
পদ্ধতি 2:
মনে করি, BOC সমকোণী ত্রিভুজে ∠OCB = A
তাহলে, sin A =  =
অর্থাৎ, OB = 12, BC = 13
কিন্তু পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB2 + OC2 = BC2
⇒ OC2 = BC2 ‒ OB2
⇒ OC = ±
কিন্তু কোনো কিছুর পরিমাপ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ OC =  =  = 5
∴ cot A =  =
উদাহরণ 3. যদি  < θ < π এবং sin θ =  হয়, তবে  এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,  < θ < π সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে এবং ‒ θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে।
∴ tan θ = ‒
∴ sec (‒θ) = ‒
∴ cot θ = ‒
∴ cosec (‒ θ) = ‒
 =  =  =
উদাহরণ 4. sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°)
= sin (5×90° + 30°) cos (8×90° + 30°) + {‒ cos (7×90° + 30°)} {‒ sin (9×90° + 60°)}
= cos 30° cos 30° + (sin 30°) (‒ cos 60°)
=  ‒
=  ‒
=
অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:
উদাহরণ 5. মান নির্ণয় কর:
(i) sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + … … … + sin2 80°
(ii) cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 55° + cos2 65°
সমাধান:
(i)
sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + … … … + sin2 80°
= sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + sin2 40° + sin2 (90° ‒ 40°) + sin2 (90° ‒ 30°) + sin2 (90° ‒ 20°) + sin2 (90° ‒ 10°)
= sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + sin2 40° + cos2 40° + cos2 30° + cos2 20° + cos2 10°
= (sin2 10° + cos2 10°) + (sin2 20° + cos2 20°) + (sin2 30° + cos2 30°) + (sin2 40° + cos2 40°)
= 1 + 1 + 1 + 1                [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]
= 4
অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:
(ii)
cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 55° + cos2 65°
= cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 (90° ‒ 35°) + cos2 (90° ‒ 25°)
= cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + sin2 35° + sin2 25°
= (sin2 25° + cos2 25°) + (sin2 35° + cos2 35°) + cos2 45°
= 1 + 1 +
= 2 +
=
অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:
উদাহরণ 6.  এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
=
=
=
=                           [ = tan θ]
=              [tan 45° = 1]
= tan (45° ‒ 25°)            [  = tan (A ‒ B)]
= tan 20°
উদাহরণ 7. মান নির্ণয় কর:
(i) sin 15°
(ii) cos 15°
(iii) tan 15°
(iv) sin 75°
(v) cos 75°
(vi) tan 75°
সমাধান:
(i)
sin 15°
= sin (45° ‒ 30°)
= sin 45° cos 30° ‒ cos 45° sin 30°         [sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B]
=
=
(ii)
cos 15°
= cos (45° ‒ 30°)
= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°        [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]
=
=
(iii)
tan 15°
=
=
=
=
=
=
= 2 ‒
(iv)
sin 75°
= sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
=
=
(v)
cos 75°
= cos (45° + 30°)
= cos 45° cos 30° ‒ sin 45° sin 30°
=
=
(vi)
tan 75°
=
=
=
=
=
= 2 +


অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. ….। 
প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা প্রযন্ত
Skype id – wschoolbd.



Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon