এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের জ্যামিতি - স্থানাঙ্ক

Posted by: | Published: Tuesday, June 14, 2016 | Categories:
ওয়েব স্কুল বিডি : সুপ্রিয় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, শুভেচ্ছা নিয়ো। আজ তোমাদের এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের বীজগণিত - দ্বিপদী রাশি (Binomial Theorem) নিয়ে আলোচনা করা হলো

অনলাইন এক্সামের বিভাগসমূহ:
জে.এস.সি
এস.এস.সি
এইচ.এস.সি
সকল শ্রেণির সৃজনশীল প্রশ্ন (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি (খুব শীঘ্রই আসছে)
বিসিএস প্রিলি টেষ্ট


এইচ এস সি উচ্চতর গণিতের  জ্যামিতি - স্থানাঙ্ক (Co-ordinates)
 

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থার নিদেশিত হলে,

      x = ঐ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা x– স্থানাঙ্ক
      y = ঐ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা y– স্থানাঙ্ক

পোলার স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে (Polar Co-ordinate Geomatry) p (r,θ) দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে ,

    r = ঐ বিন্দুর ব্যাসাধ ভেক্টর (Radius Vector)
    θ = ভেক্টোরিয়াল কোণ (Vectorian Vector)

যখন, r2 = x2+y2
এবং θ = tan-1(y/x)  [ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে হলে ]     
     = r - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে হলে ]
     = r + tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান তৃতীয় চতুভাগে হলে ]
     = - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুভাগে হলে ]
            or, 2r - tan-1(y/x)

x = r cosθ       ; y = r sinθ
  • মূল বিন্দু বা পোল এর স্থানাঙ্ক ≡ (0,0)
  • x অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর কোটি শূণ্য (0)
  • y অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর ভুজ শূণ্য (0)
  • x অক্ষরেখার থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর কোটি = │y│
  • y অক্ষরেখা থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর ভুজ = │x│
  • যেকোন বিন্দু p (x1, y1) এবং এর মধ্যকার দূরত্ব হল,

PQ =
  • মূল বিন্দু থেকে P(x1,y1) বিন্দুর দূরত্ব =
  • P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি অর্ন্তবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ যেখানে m1,m2ϵIR
   তবে,
x =
y =
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি বহিবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ=m1:m2 হয় যেখানে m1,m2ϵIR
x =
y =
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে যদি R(x,y) বিন্দুটি সমদ্বিখন্ডিত করে অথাৎ PR:RQ=1:1, হয় তবে,
x =
y =
¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দু গুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে ≡ ( ,  )
¥ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে
¥ বগক্ষেত্র ,আয়তক্ষেত্র , রম্বস ও সামান্তরিকের কণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
¥ P(x1,y1) এবং Q(x2,y2) বিন্দদ্বিয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি k:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করলে, k =  =
এবং বহি:বিভক্ত করলে, k =  =
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে x অক্ষ -:1 অনুপাতে এবং y অক্ষ -:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।অনুপাতের মান ঋণাত্মক হলে  বুঝতে হবে অক্ষরেখা উক্ত সরলরেখাকে বহির্বিভক্ত করে ।
¥ কোন ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র,পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে ।
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে ax+by+c=0 রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করলে, k = - । k এর মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে রেখাটি বহিবিভক্ত হয়েছে।
¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে,
x1 x2 x3
y1 y2 y3
1 1 1

½   = ½ {x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)}                                       


অথবা নিমক্ত উপায়ে সজ্জিত করেও সহজে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x1 y1


   ⇒ Δ = ½ {(x1y2+x2y3+x3+y1)-(y1x2+y2+x3+y3x1)}


 উক্ত প্রকিয়ায় যেকোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সম্ভব ।

¥ ∆ABC ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) এবং a, b, c যথাক্রমে ∠A, ∠B এবং ∠C এর বিপরীত বাহু হলে :

I. অন্তকেন্দ্র ≡ ( , )
ii. পরিকেন্দ্র ≡ ( , )
iii. লম্ববিন্দু ≡ ( , )
¥ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে ।

¥ কোন সামান্তরিকের A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) হলে,
D ≡ (x1+x3-x2, y1+y3-y2)
¥ ∆ABC এর BC, CA ও AB এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে  D(x1,y1), E(x2,y2) ও F(x3,y3) হলে,
  1. A ≡ (x3+x2-x1, y3+y2-y1)
B ≡ (x1+x2-x2, y1+y3-y2)
C ≡ (x1+x2-x3, y1+y2-y3)
  1. ∆ক্ষেত্র ABC = ∆ক্ষেত্র DEF
  2. ∆ABC ও ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই
গাণিতিক সমস্যা
(Examplary problems with sollution :)
1.কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-1,√3) হলে,বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
      এখানে, x=-1, y=√3 অথাৎ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে ।
∴, π =  = 2
∴, θ = π – tan-1(y/x) = 180° - 60° = 120°
2.কার্তেসীয় সমীকরণগুলোকে পোলার সমীকরণে এবং পোলার সমীকরণ গুলোকে কার্তেসীয় সমীকরণে পরিণত কর
সমাধান :
  1. x2+y2-2ax = 0
  2. y = x tanα
  3. π = 2a cosθ
  4. π2sin2θ = 2a2
  5. (x2+y2)2 = 2a2xy
  6. π2 = a2 cos2θ
  7. π(1+cosθ) = 2

i. x2+y2-2ax = 0 ⇒ x2+y2 = 2ax
                                     ⇒ π2 = 2a.π cosθ
                                      ⇒ π  = 2a cosθ

ii.         y = x tanα ⇒ π sinθ = π cosθ – tanα
                                    ⇒ sinθ/cosθ = tanα
                                    ⇒ tanθ = tanα
                                    ⇒ θ = α

iii.        π = 2a cosθ ⇒ π2 = 2a π cosθ
                                       ⇒ x2+y2 = 2ax
                                       ⇒ x2+y2-2ax = 0

iv.        π2sin2θ = 2a2 ⇒ π2 2sinθ.cosθ = 2a2  [sin2θ = 2sinθ.cosθ]
                                       ⇒ π sinθ.π cosθ = a2
                                       ⇒ xy = a2

v.         (x2+y2)2 = 2a2xy ⇒ (π2)2 = 2a2. πcosθ. πsinθ
                                                ⇒ π2 = 2a2. 2sinθ.cosθ
                                                ⇒ π2 = a2 sin2θ

vi.        π2 = a2 cos2θ ⇒ π2 = a2 (cos2 θ – sin2θ)
                                          ⇒ π4 = a22cos2θ – π2sin2θ)       [উভয়পক্ষকে π2 দ্বারা গুণ করে]
                                      ⇒ (x2+y2)2 = a2(x2-y2)

vii.       π(1+cosθ) = 2 ⇒ π(1+cosθ) = 2
                                       ⇒ π + π cosθ = 2
                                       ⇒ π +x = 2
                                       ⇒ π2 = (2-x)2
                                       ⇒ x2+y2 = 4-4x+x2
                                       ⇒ y2 = -4(x-1)

3.x অক্ষ ও (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে k-এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
   x অক্ষ থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব = │কোটি│ = k
   (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব =
                              =
                              =

 প্রশ্নমতে, k =
     ⇒ k2 = 130+14k+k2
              ⇒ k = -(65/7)

4.A(-1,2) ও B(3,-4) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাকে x অক্ষরেখা ও y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, x অক্ষরেখা AB কে k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
তাহলে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ ( ,  )
কিন্তু x অক্ষরেখার উপরস্থিত সকল বিন্দুর কোটি শূণ্য ।
অথাৎ,  = 0 ⇒ 2-4k = 0 ⇒ k = ½
∴ x অক্ষরেখা AB কে 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
অনুরূপভাবে, y অক্ষরেখাকে উপরস্থিত সকল বিন্দুর ভুজ শূণ্য ।
অথাৎ,  = 0 ⇒ -1+3k = 0 ⇒ k = 1/3
∴ y অক্ষরেখা AB কে 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
Short-cut :
x অক্ষরেখা AB কে - = - =  অথাৎ 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে
y অক্ষরেখা AB কে - = - =   অথাৎ 1:3  অনুপাতে বিভক্ত করে
5.A, B, C, D বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (0,-1), (15,2), (-1,2), (4,-5)); CD কে AB রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।
সমাধান :
      মনে করি, CD কে AB রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
তাহলে বিভাগ বিন্দু E এর স্থানাঙ্ক ≡ ( , )
∵ A, M, B বিন্দুগুলো সমরেখ ।
∴ ∆AMB = 0
0 -1 1
1
 15 2 1


⇒ ½ = 0
                             



0 -1 1
4k-1 -5k+2 k+1
15 2 1

⇒                                                      = 0


0 0 1
4k-1 -4k+3 k+1
15 3 1

⇒  
        = 0



⇒ 12k-3+60k-45=0
⇒ 72k = 48
⇒ k = 2/3

6.একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (5,3) ; এর জ্যা (3,2) যে বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈঘ্য নির্ণয় কর
সমাধান :
      মনে করি, O (5,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা C (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ।
     ∴ OC ⊥ AB   [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]
      OA = 5  [বৃত্তের ব্যাসাধ ]
        ∴ OC2 = (5-3)2 + (3-2)2 = 5
   তাহলে, AOC সমকোনী ত্রিভুজে,
      AC2 = OA2-OC2 = 25-5 = 20
      ⇒ AC = 2√3
      ∴ AB = 2AC = 4√5
7.একটি বিন্দুর কোটি এর ভুজের দ্বিগুণ । যদি এর দূরত্ব (4,3) থেকে √10 একক হয় তবে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
      ধরি, ভুজ = x     ∴ কোটি = 2x
∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক ≡ (x,2x)
এখন,  = √10
⇒ x2-8x+16+4x2-12x+9 = 10
⇒ 5x2-20x+15 = 0
⇒ x2-4x+3 = 0
⇒x2-3x-x+3 = 0
⇒ x(x-3)-1(x-3) = 0
⇒ (x-3)(x-1) = 0
∴ x = 3 অথবা 1
যখন x=3 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (3,6)
যখন x=1 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (1,2)
8.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (6,1), (-1,0), (1,-2) । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?
-1 1 6
0 -2 1
1 1 1
সমাধান :

∴ ∆DEF = ½




0 2 7
0 -2 1
1 1 1

                  = ½      [π1´ = π13]



                  = ½  (2+14) = 8 বর্গ একক

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF
          = 32 বর্গ একক




D -1  0
E  1 -2
F  6  1
D -1  0
অথবা,





⇒ ∆DEF = ½ {2+1+0-(0-12-1)}
                  = ½ (3+13)
                  = 8 বর্গ একক

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF
          = 32 বর্গ একক


9.A ও B বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2,4) এবং (4,-5) । AB রেখা C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC । C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
      এখানে, AB = 3BC
                              ⇒  =
                              ⇒ AB:BC = 3:1
      তাহলে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ (x,y) হলে,
 = 4                             এবং  = -5
⇒ 3x-2 = 16                      ⇒ 3y+4 = -20
⇒ x = 6                             ⇒ y =-8

∴ C ≡ (6,-8)

Past DU questions with Solutions :

1. (-k,2), (0,5) ও (2-k,3) বিন্দুদ্বয় সমরেখ হলে k এর মান কত? [1999-2000]
a. 0
b. 5
c. -14
d. 3

2. যদি (-5,2), (4,5), (7,-4) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? [2001-02]
a. 48
b. 46 ½
c.50 ½
d. 71 ½

3. কোন ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুসমূহ (-1,-2), (2,5) ও (3,10) হলে তার ক্ষেত্রফল- [2003-04]
a. 10 sq units
b. 15 sq units
c. 4 sq units
d. 18 sq units

4. (x,y), (2,3) ও (5,1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে- [2005-06]
a. 4x-3y-17 = 0
b. 4x+3y-17 = 0
c. 3x+4y+17 = 0
d. 3x+4y-17 = 0

5. (1,4) ও (9,12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার  স্থানাংক- [2005-06]
a. (3,2)
b. (5,5)
c. (6,-6)
d. (-1,1)

6. (2,2-2x), (1,2) এবং (2,6-2x) বিন্দুগুলো সমরেখ হলে b এর মান- [2006-07]
a. -1
b. 1
c. 2
d. -2

7. (1,4) এবং (9,-12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশ অন্তঃস্থভাবে যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে বিভক্ত হয় তার স্থানাংক
a. (6,-6)
b. (3,5)
c. (2,1)
d. (-6,5)

8. A, B, C বিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে (a,bc), (b,ca), (c,ab) হলে ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত? [2009-10]
a. ½ abc
b. ½ (a-b)(b-c)(c-a)
c. ½ (b-a)(b-c)(c-a)
d. ½ 3abc

Solutions :
1. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।
-k 0 2-k
2 -5 3
1 1 1
অর্থাৎ,
                    ½                                                                   = 0

-2 k 2-k
-1 -7 3
0 0 1

                  ⇒         = 0

                  ⇒ 14+k = 0
                  ⇒ k = -14
                  ∴ anser : c
-5  1
 4  5
 7 -4
-5  1
2.



ক্ষেত্রফল = ½ {(-25-16+7)-(4+35+20)}
 = 46 ½ বর্গ একক     [N.B: ক্ষেত্রফলের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

                  ∴ anser :b
-1 -2
 2  5
 3 10
-1 -2
3.



ক্ষেত্রফল = ½ {(-5+20-6)-(-4+15-10)}
         = 4 sq units
                  ∴ anser : c

4.  বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।
x 2 5
y 3 1
1 1 1

                    ½       = 0 
                                                                 

x-2 -3 5
y-3 2 1
0 0 1

                  ⇒         = 0       [c1´ = c1-c2; c2´ = c2-c3]

                  ⇒ 2x-4+3y-9 = 0
                  ⇒ 2x+3y-13 = 0
অথবা, সরাসরি (2,3) ও (5,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ বের করলেই হবে-
                   =
                  ⇒ 2x-4 = -3y+9
                  ⇒ 2x+3y-13 = 0
                  ∴ anser : 2x+3y-13 = 0; not given in the options

5.  এখানে, (x1,y1) = (1,4); (x2,y2) = (9,12); m1 = 5; m2 = 3
∴ x = (45+3)/8 = 6
∴ y = (60+12)/8 = 9
                  ∴ anser : (6,9) ; not given in the options

6. প্রশ্নমতে,
2 1 2
2-2x 2 b-2x
1 1 1

                    ½       = 0
                 

0 1 2
2-b 2 b-2x
0 1 1

                  ⇒         = 0


0 1 2
2-b 2 b-2x
0 0 -1

                  ⇒         = 0

                  ⇒ 2-b = 0
                  ⇒ b =2
∴ anser : c

7. নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাংক ≡ ( , )
                                  = (6,-6)
                  ∴ anser : a
a b c
ba ca ab
0 0 1

8. ∴ ∆ABC = ½

a-b b-c c
-c(a-b) -a(b-c)ca ab
0 0 1

      = ½

1 1 c
-c -a ab
0 0 1

                   = ½ (a-b)(b-c)

                   = ½ (a-b)(b-c)(c-a)
                  ∴ anser : b

    অনলাইন এ ক্লাস করুন একদম ফ্রী. …
    (প্রতিদিন রাত ৯টা থেকে ১০.৩০টা পর্যন্ত)
    Skype id - wschoolbd মোবাইল নং- ০১৯১৫৪২৭০৭০ ।


Previous
Next Post »

আপনার কোন কিছু জানার থাকলে কমেন্টস বক্স এ লিখতে পারেন। আমরা যথাযত চেস্টা করব আপনার সঠিক উত্তর দিতে। ভালো লাগলে ধন্যবাদ দিতে ভুলবেন না।
- শুভকামনায় ওয়েব স্কুল বিডি
ConversionConversion EmoticonEmoticon